微积分 学习笔记

极限与导数

极限

假设当 $x$ 在 $a$ 附近时，函数 $f(x)$ 有定义．

符号 $\lim\limits_{x\to a} f(x)=L$．读作“当 $x$ 趋于 $a$ 时，函数 $f(x)$ 的极限等于 $L$”．

直观定义：可以通过让 $x$ 足够接近 $a$ 但不等于 $a$，使得 $f(x)$ 任意地接近 $L$．

单侧极限：左极限 $\lim\limits_{x\to a^-} f(x)=L$ 与右极限 $\lim\limits_{x\to a^+} f(x)=L$．

极限不存在：当 $x$ 趋于 $a$ 时，函数值不趋于一个固定的数值（如 $\lim\limits_{x\to 0}\sin\frac{\pi}{x}$）或函数值的绝对值无穷大，则在 $x=a$ 处极限不存在．

求极限

利用运算法则

假设 $c$ 是一个常数，$n\in\mathbb{N}^{*}$ 且极限 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\to a}g(x)$ 都存在，则：

1. $\lim\limits_{x\to a}\left[f(x)\pm g(x)\right]=\lim\limits_{x\to a}f(x)\pm \lim\limits_{x\to a}g(x)$；
2. $\lim\limits_{x\to a}\left[cf(x)\right]=c\lim\limits_{x\to a}f(x)$；
3. $\lim\limits_{x\to a}\left[f(x)g(x)\right]=\lim\limits_{x\to a}f(x)\lim\limits_{x\to a}g(x)$；
4. $\lim\limits_{x\to a}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]=\dfrac{\lim\limits_{x\to a}f(x)}{\lim\limits_{x\to a}g(x)}$，其中 $\lim\limits_{x\to a}g(x)\neq 0$；
5. $\lim\limits_{x\to a}\left[f(x)\right]^n=\left[\lim\limits_{x\to a}f(x)\right]^n$；
6. $\lim\limits_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x\to a}f(x)}$；
7. $\lim\limits_{x\to a}c=c$．

直接替换性质：若 $f$ 是一个多项式或有理函数，$a$ 在 $f$ 的定义域内，那么 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$．

例：计算 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}$．

考虑分子有理化：

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2+9-9}{x^2(\sqrt{x^2+9}+3)}\\ &=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}\\ &=\dfrac{\lim\limits_{x\to 0}1}{\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x^2+9}+\lim\limits_{x\to 0}3}\\ &=\dfrac{1}{6} \end{aligned}$$

利用单侧极限

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ 当且仅当 $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$．

例：计算 $\lim\limits_{x\to 0}\vert x\vert$．

我们知道

$$\lim\limits_{x\to 0^-}\vert x\vert=\lim\limits_{x\to 0^-}(-x)=0\\ \lim\limits_{x\to 0^+}\vert x\vert=\lim\limits_{x\to 0^+}(x)=0\\$$

因此，$\lim\limits_{x\to 0}\vert x\vert=0$．

夹逼定理

如果当 $x$ 在 $a$ 附近时（除了在 $a$ 处）有 $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$，并且 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}h(x)=L$，那么 $\lim\limits_{x\to a}g(x)=L$．

例：计算 $\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\dfrac{1}{x}$．

首先，不能使用运算法则，因为 $\lim\limits_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}$ 不存在．

可以注意到，$-1\leq \sin\frac{1}{x}\leq 1$．

两边同乘 $x^2$，得到 $-x^2\leq x^2\sin\frac{1}{x}\leq x^2$．于是，我们构造出来了两个函数，便可以使用夹逼定理，求得极限为 $0$．

严格定义

设 $f$ 为一个定义在某个包含 $a$ 的开区间上的函数（仅在 $a$ 处可能没有定义）．如果对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得当 $0<\vert x-a\vert<\delta$ 时有 $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$，那么我们就说当 $x$ 趋于 $a$ 时 $f(x)$ 的极限是 $L$，记作

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$$

可以表述为：$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$ 表示可以通过将 $x$ 与 $a$ 之间的距离变得足够小（但不为 $0$），来使 $f(x)$与 $L$ 之间的距离变得任意小．这也叫作 $\varepsilon-\delta$ 语言．

使用定义证明极限的逻辑是，对于一个任意的 $\varepsilon$，找到一个仅依赖于 $\varepsilon$ 的 $\delta$ 使得不等式成立．

例：证明 $\lim\limits_{x\to 3}x^2=9$．

采用先猜后证，首先猜出 $\delta$ 的一个值．设 $\varepsilon$ 是一个给定的正数，我们要找到一个 $\delta>0$，使得当 $0<\vert x-3\vert<\delta$ 时有 $\vert x^2-9\vert<\varepsilon$．

上式可以转化为当 $0<\vert x-3\vert<\delta$ 时有 $\vert x+3\vert\vert x-3\vert<\varepsilon$，即 $\vert x-3\vert<\dfrac{\varepsilon}{\vert x+3\vert}$．但是如果我们直接令 $\delta=\dfrac{\varepsilon}{\vert x+3\vert}$ 是错误的，因为 $\delta$ 不能取决于 $x$．

所以问题转化为找到 $\vert x+3\vert$ 的上界，将其换为常数．为了做到这一点，我们通常预先限制 $x$ 在 $3$ 的某个邻域内，不妨假设 $\delta\leq 1$（此处 $1$ 可以选择其他使得原式有意义的任意正实数）即 $\vert x-3\vert<1\Rightarrow 2<x<4\Rightarrow 5<x+3<7$．因此，$\vert x+3\vert<7$．

回到最初的表达式 $\vert x^2-9\vert=\vert x-3\vert\vert x+3\vert$，我们知道 $\vert x+3\vert<7$，所以 $\vert x^2-9\vert<7\cdot\vert x-3\vert$，因此为了让 $\vert x^2-9\vert<\varepsilon$，我们只需要让 $7\cdot\vert x-3\vert<\varepsilon$ 即 $\vert x-3\vert<\dfrac{\varepsilon}{7}$．

为了保证不等式成立，令 $\delta$ 为 $1$ 和 $\dfrac{\varepsilon}{7}$ 中的较小者，用符号表示为 $\delta=\min\left\{1,\dfrac{\varepsilon}{7}\right\}$．

正式证明：

对于任意给定的 $\varepsilon>0$，令 $\delta=\min\left\{1,\dfrac{\varepsilon}{7}\right\}$．如果 $0<\vert x-3\vert<\delta$，那么有 $\vert x-3\vert<1\Rightarrow\vert x+3\vert<7$，再利用 $\vert x-3\vert<\dfrac{\varepsilon}{7}$，可得

$$\vert x^2-9\vert=\vert x-3\vert\vert x+3\vert<\frac{\varepsilon}{7}\cdot 7=\varepsilon$$

这表明 $\lim\limits_{x\to 3}x^2=9$．

左极限的严格定义：如果对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得当 $a-\delta<x<a$ 时有 $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$，那么 $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=L$．

右极限的严格定义：如果对于任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得当 $a<x<a+\delta$ 时有 $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$，那么 $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L$．

无穷极限的严格定义：设 $f$ 为一个定义在某个包含 $a$ 的开区间上的函数（仅在 $a$ 处可能没有定义），那么 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infin$ 表示对于每个正数 $M$，都存在一个正数 $\delta$，使得当 $0<\vert x-a\vert<\delta$ 时有 $f(x)>M$．

连续性

如果 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$，则称函数 $f$ 在 $a$ 处连续。注意这隐含了 $f(a)$ 有定义且 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 存在。

间断分为第一类间断点和第二类间断点，除第一类间断点外的间断叫做第二类间断点，第一类间断点有：

1. 可去间断：间断两侧函数的极限存在且相等；
2. 跳跃间断：连续点两侧函数的极限存在，但不相等。

第二类间断点包含无穷间断和震荡间断。

单侧连续：如果 $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)$，则称函数 $f$ 在 $a$ 处右连续。如果 $\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=f(a)$，则称函数 $f$ 在 $a$ 处左连续。

函数 $f$ 在一个区间上连续，如果它在这个区间的每一点处都连续。（如果 $f$ 仅在区间端点的一侧有定义，那么在端点处连续表示右连续或左连续。）

如果函数 $f$ 和 $g$ 在 $a$ 处连续，$c$ 是一个常数，那么 $f+g$，$f-g$，$cf$，$fg$，$\dfrac{f}{g},g(a)\neq 0$ 都是连续的。

知道哪些函数是连续的能可以帮助我们快速写出一些极限值。多项式函数、有理函数（$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，$P$ 和 $Q$ 是多项式）、平方根函数、三角函数、指数函数都是在定义域上连续。根据几何知识，也容易得到任何连续的一对一函数的反函数是连续的。

对于复合函数，如果 $f$ 在 $b$ 处连续且 $\lim\limits_{x\to a}g(x)=b$，那么有 $\lim\limits_{x\to a}f(g(x))=f\left(\lim\limits_{x\to a}g(x)\right)$。那么我们还可以得到，如果 $g$ 在 $a$ 处连续且 $f$ 在 $g(a)$ 处连续，那么 $f\circ g$ 在 $a$ 处连续，也即“连续函数的连续函数还是连续函数”。

介值定理：若 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$N$ 是 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意一个数且 $f(a)\neq f(b)$，那么在 $(a,b)$ 内存在一个数 $c$ ，使得 $f(c)=N$。介值定理的一个应用是寻找方程的根。

例 1：证明 $f(x)=1-\sqrt{1-x^2}$ 在区间 $[-1,1]$ 上连续。

令 $a\in(-1,1)$。

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x\to a}f(x)&=\lim\limits_{x\to a}\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)\\ &=1-\lim\limits_{x\to a}\sqrt{1-x^2}\\ &=1-\sqrt{\lim\limits_{x\to a}(1-x^2)}\\ &=1-\sqrt{1-a^2}=f(a) \end{aligned}$$

同时，还可以算出 $\lim\limits_{x\to -1^+}f(x)=1=f(-1)$ 和 $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=1=f(1)$，原命题得证。

无穷远处的极限与水平渐近线